Los investigadores del Centro de Modelamiento Matemático de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile (CMM) Michał Kowalczyk y Claudio Muñoz, junto al matemático Yvan Martel, de la École Polytechnique (Francia), lograron resolver un problema que llevaba casi 40 años sin solución.

El dilema, perteneciente al ámbito de Ecuaciones en Derivadas Parciales No Lineales, buscaba determinar si las perturbaciones del llamado ‘kink’ —una solución especial para ‘phi 4’, ecuación clásica de la teoría cuántica de campos— deben converger cuando el tiempo se aproxima a infinito.

La respuesta es un avance clave en el área de ecuaciones dispersivas, aquellas que explican fenómenos como las ondas en el mar, las ondas de la luz y la física de campos, entre otros. “Probamos que, en el caso donde las perturbaciones son impares, todas ellas deben converger a cero ‘localmente’ en el espacio”, explica Muñoz.

Los matemáticos estuvieron más de dos años trabajando en el problema. “Todo partió cuando fui en comisión de estudios a Francia en 2014. Fui a conversar con Yvan y pensé que me iba a decir la solución, porque estaba seguro de que estaba resuelto”, comenta Kowalczyk, quien es de origen polaco.

Pero Martel le respondió que la conjetura estaba sin respuesta desde los años 80. El francés había sido director de tesis de Muñoz y se conocían desde 2006. Cuando el polaco visitó Francia, el chileno trabajaba en la Universidad Paris-Sud y estaba consciente de la inmensidad del desafío: “Bastantes personas trabajando en Física Matemática habían intentado dar diferentes respuestas a este problema, con diferente grado de rigurosidad. Nuestro resultado es la primera respuesta ciento por ciento rigurosa a tal pregunta”, dice.

La solución les permitió ser los primeros investigadores trabajando en Chile que publican en Journal of the American Mathematical Society, considerada una de las tres revistas científicas más importantes en el campo de las Matemáticas y estandarte de la Sociedad Americana de Matemáticas.

“Resolvimos de manera parcial la conjetura de que la ecuación phi 4 no posee “wobbling kinks”, o soluciones periódicas en tiempo y localizadas en espacio en torno a un kink”, agrega Muñoz. “Y lo más probable es que no existan perturbaciones de tipo “wobbling kink” para phi 4”.

Ahora, el desafío que enfrentan los investigadores tiene que ver con resolver el caso faltante, el de los datos pares. Con esto, darían una solución al problema general, cuenta Claudio Muñoz: “Tal caso posee un ingrediente adicional, llamado en el área ‘resonancia’, que hace que su demostración sea aún más complicada y desafiante que el caso impar que acabamos de resolver”. Pese a los obstáculos, han tenido avances y el equipo ya produjo un resultado intermedio que fue enviado a una revista científica. En este artículo, justamente, cuentan que encontraron cuál es la problemática fundamental del caso.